A.

A.a A. (geb. 1995) stammt aus Äthiopien. Er ersuchte am 26. März 2012 in der Schweiz um Asyl und wurde am 3. April 2012 dem Kanton Graubünden zugewiesen. Das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) wies sein Asylgesuch am 23. Oktober 2014 ab und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Das Bundesverwaltungsgericht trat auf eine hiergegen gerichtete Beschwerde am 7. Januar 2015 nicht ein.

A.b A. reiste in der Folge nicht aus, sondern hielt sich ab März 2015 bei Angehörigen im Kanton Thurgau auf. Er absolvierte die Matur und schloss an der ETH das Bachelorstudium in Informatik ab. Er bemühte sich danach um einen Masterabschluss. Am 18. Oktober 2019 ersuchte A. das Amt für Migration und Zivilrecht Graubünden darum, ihm eine asylrechtliche Härtefallbewilligung zu erteilen (Art. 14 Abs. 2 des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 [AsylG; SR 142. 31]), was dieses am 30. Dezember 2019 mangels örtlicher Zuständigkeit ablehnte.

B. Das Departement für Justiz, Sicherheit und Gesundheit Graubünden trat am 3. Dezember 2020 auf die gegen das Schreiben des Amts für Migration und Zivilrecht vom 30. Dezember 2019 erhobene Beschwerde im Sinne der Erwägungen nicht ein. Die hiergegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden am 7. September 2021 ab, soweit es darauf eintrat. A. komme - so die Begründung - im kantonalen asylrechtlichen Härtefallverfahren keine Parteistellung zu (Art. 14 Abs. 4 AsylG); das Amt für Migration und Zivilrecht habe mangels einer Prozessvoraussetzung das Härtefallgesuch nicht an die Hand genommen, wogegen A. nicht Beschwerde führen könne, da ihm - wie bei einem allfälligen negativen materiellen Entscheid - im kantonalen Verfahren von Bundesrechts wegen keine Parteirechte zustünden.

C. A. beantragt vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das angefochtene Urteil aufzuheben; es sei festzustellen, dass die Verweigerung, das Härtefallgesuch zu prüfen, "in casu eine Verletzung von Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 BV und Art. 13 EMRK i.V.m. Art. 8 EMRK bzw. Art. 29a BV" darstelle; es sei die Zuständigkeit des Kantons Graubünden für das Härtefallverfahren festzustellen und das Amt für Migration und Zivilrecht Graubünden anzuweisen, das Härtefallgesuch materiell zu prüfen; es sei das Amt zudem anzuhalten, ihm "in Einklang mit Art. 8 EMRK eine Härtefallbewilligung" zu erteilen; eventuell sei die Zuständigkeit des Kantons Thurgau für das Härtefallverfahren festzustellen. (...)

Das Bundesgericht tritt weder auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten noch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein.

(Auszug)

Aus den Erwägungen:

1.1 Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) betreffend eine ausländerrechtliche Bewilligung ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, sofern das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch auf eine solche einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Es genügt für das Eintreten, dass ein entsprechender Anspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht werden kann (BGE 139 I 330 E. 1.1). Der Beschwerdeführer beruft sich in diesem Zusammenhang auf den Schutz seines Privatlebens im Sinne von Art. 8 EMRK. Er macht geltend, seine Situation habe "Ausnahmecharakter"; er habe sich rasch überdurchschnittlich in der Schweiz integriert. Er beherrsche die deutsche Sprache sehr gut, habe hier die Matura absolviert und anschliessend studiert; sein soziales Netzwerk befinde sich in der Schweiz. Er beziehe keine Sozialhilfeleistungen (mehr), habe eine Arbeitsstelle in Aussicht und engagiere sich in der Schweiz auch politisch.

1.2 Der Beschwerdeführer beruft sich für seine Bewilligung zudem auf Art. 14 AsylG. Nach dessen Absatz 1 kann eine asylsuchende Person ab Einreichung des Asylgesuches bis zur Ausreise nach einer rechtskräftig angeordneten Wegweisung kein Verfahren um Erteilung einer ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligung einleiten, ausser es bestehe ein Anspruch auf deren Erteilung ("Ausschliesslichkeit des Asylverfahrens"). Der Kanton kann mit Zustimmung des Staatssekretariats für Migration (SEM) einer ihm nach dem Asylgesetz zugewiesenen Person, die sich seit Einreichung des Asylgesuchs mindestens fünf Jahre in der Schweiz aufhält, jedoch eine Aufenthaltsbewilligung erteilen, wenn wegen fortgeschrittener Integration ein schwerwiegender persönlicher Härtefall vorliegt (Art. 14 Abs. 2 AsylG). Will der Kanton von dieser Möglichkeit Gebrauch machen, so meldet er dies unverzüglich dem Staatssekretariat (Art. 14 Abs. 3 AsylG). Der betroffenen Person kommt nur in dessen Zustimmungsverfahren Parteistellung zu (Art. 14 Abs. 4 AsylG), nicht indessen in einem wie auch immer ausgestalteten Verfahren vor der kantonalen Migrationsbehörde (vgl. das Urteil 2D_3/2014 vom 16. Januar 2014 E. 2; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, Alberto Achermann und andere [Hrsg.], 2013, S. 31 ff., dort S. 104 ff. und 106 f.).

2. Der Beschwerdeführer verfügt weder gestützt auf Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens) noch auf Art. 14 Abs. 2 AsylG (asylrechtlicher Härtefall) über einen in vertretbarer Weise geltend gemachten Bewilligungsanspruch:

2.1.1 Die EMRK verschafft grundsätzlich kein Recht auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen Aufenthaltstitel in einem bestimmten Staat. Nach einem gefestigten Grundsatz des Völkerrechts haben die Staaten das Recht, die Einwanderung und den Aufenthalt von Nicht-Staatsangehörigen auf ihrem Territorium zu regeln. Es ist in erster Linie Sache des Gesetzgebers, im Rahmen einer demokratischen und pluralistischen Auseinandersetzung darüber zu befinden, inwiefern und unter welchen Voraussetzungen es sich im Rahmen der Ausländer- und Einwanderungspolitik rechtfertigt, Bewilligungsansprüche einzuräumen (BGE 149 I 66 E. 4.2; BGE 144 I 266 E. 3.2; BGE 144 II 1 E. 6.1).

2.1.2 Unter Berufung auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Achtung des Privatlebens) kann gemäss der jüngeren bundesgerichtlichen Rechtsprechung allerdings nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von rund zehn Jahren regelmässig davon ausgegangen werden, dass die sozialen Beziehungen hier so eng geworden sind, dass es für die Aufenthaltsbeendigung besonderer Gründe bedarf; im Einzelfall kann es sich freilich auch anders verhalten und die Integration zu wünschen übrig lassen. Es kann aber auch sein, dass schon zu einem früheren Zeitpunkt der Anspruch auf Achtung des Privatlebens betroffen ist. Liegt nach einer längeren, bewilligten Aufenthaltsdauer, die zwar zehn Jahre noch nicht erreicht hat, eine besonders ausgeprägte Integration vor, kann es den Anspruch auf Achtung des Privatlebens verletzen, wenn eine Bewilligung nicht erneuert wird (BGE 144 I 266 E. 3.9).

2.1.3 Der Anspruch auf Schutz des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK - wie ihn das Bundesgericht in seinem Leitentscheid BGE 144 I 266 umschrieben hat - soll einer ausländischen Person ermöglichen, im Hinblick auf die erfolgte Integration im Land verbleiben zu können. Der entsprechende Aufenthaltsanspruch betrifft die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, nicht aber deren Neuerteilung. Die Rechtsprechung von BGE 144 I 266 bezieht sich auf Fallkonstellationen, in denen es um die Beendigung bzw. Nichtverlängerung eines Aufenthaltsrechts geht, nicht aber - wie hier - um dessen erstmalige Begründung nach einem (illegalen) Aufenthalt oder um eine weitere Anwesenheit, nachdem diese durch die Behörden rechtskräftig beendet worden ist (BGE 149 I 66 E. 4.2 sowie die Urteile 2C_141/2021 vom 13. April 2021 E. 2.4; 2C_123/2020 vom 25. Juni 2020 E. 2.4.2; 2C_221/2020 vom 19. Juni 2020 E. 1.2.2; 2C_979/2019 vom 7. Mai 2020 E. 5; 2C_25/2020 vom 18. März 2020 E. 1.3 und 1.4; 2C_819/2018 vom 13. Februar 2020 E. 1.3; je mit Hinweisen; vgl. zum Erfordernis der Rechtmässigkeit des Anwesenheitsrechts bezüglich des zulässigen Rechtsmittels auch: HUGI YAR, a.a.O., S. 102 f.).

2.1.4 Der Beschwerdeführer hat sich - abgesehen von seiner Anwesenheit während des Asylverfahrens (Art. 42 AsylG) - nie rechtmässig in der Schweiz aufgehalten. Er kann keine Rechte daraus ableiten, dass er sich nicht an die hiesige Rechtsordnung und an den rechtskräftigen Asyl- und Wegweisungsentscheid gehalten hat (vgl. das Urteil 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 3.3). Er befindet sich seit 2015 unbewilligt und rechtswidrig in der Schweiz. Das Asylverfahren dauerte rund zweieinhalb Jahre, wobei diese Zeit bei der Bestimmung der Aufenthaltsdauer im Rahmen von BGE 144 I 266 nicht als rechtmässige Anwesenheit angerechnet werden könnte (vgl. die Urteile 2D_19/2019 vom 20. März 2020 E. 1.3 [unter Verweis auf BGE 137 II 10 E. 4.6]; 2C_1062/2020 vom 25. März 2021 E. 1.2.3 und 2D_11/2021 vom 20. September 2021 E. 3).

2.1.5 Der Beschwerdeführer hätte das Land seit Januar 2015 verlassen müssen. Er weigerte sich, dies zu tun und sich die hierfür nötigen Papiere zu beschaffen. Er wurde in diesem Zusammenhang kurzfristig in Ausschaffungshaft genommen (11. März bis 13. März 2015) und zudem wegen illegalen Aufenthalts strafrechtlich verfolgt (Strafbefehl vom 2. April 2015). Unter diesen Umständen kann er sich nicht auf seine inzwischen hier eingetretene wirtschaftliche und soziale Integration berufen. Die Voraussetzungen von BGE 144 I 266 sind nicht erfüllt. Ausländische Personen müssen sich den ausländerrechtlichen Kontrollen und Verfahren unterziehen und haben das Land zu verlassen, wenn sie durch einen rechtskräftigen Entscheid hierzu verpflichtet worden sind (BGE 144 II 16 E. 4.7.2; Nichtzulassungsentscheid des EGMR Danelyan gegen Schweiz vom 29. Mai 2018 [Nr. 76424/14 und 76435/14] § 27; Urteil 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.6 mit Hinweisen). Anders zu entscheiden, hiesse jene Personen, die sich über rechtskräftige Wegweisungen hinwegsetzen, gegenüber denjenigen zu bevorzugen, die sich an die behördlichen Vorgaben halten, was rechtsstaatlich nicht angeht (vgl. die Urteile 2C_1062/2020 vom 25. März 2021 E. 1.2.3; 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 3.6; 2C_862/2018 vom 15. Januar 2019 E. 3.3 und 2C_969/2017 vom 2. Juli 2018 E. 3.5; je mit Hinweisen).

2.2.1 Nichts anderes ergibt sich im vorliegenden Fall aus der Rechtsprechung des EGMR, wonach unter gewissen Umständen gestützt auf Art. 8 EMRK eine positive staatliche Leistungspflicht in dem Sinn bestehen kann, dass der ausländerrechtliche Status einer illegal oder in einem prekären Rechtsverhältnis anwesenden ausländischen Person ausnahmsweise regularisiert werden muss. Auch das Bundesgericht schliesst eine solche Pflicht im Rahmen von Art. 8 EMRK nicht aus (vgl. hierzu HUGI YAR, a.a.O., S. 102 ff. und die dort zitierte Rechtsprechung): Es hat jüngst gestützt auf die konventionsrechtlichen Vorgaben denn auch einen Regularisierungsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens) im Fall einer über Jahre hinweg vorläufig aufgenomenen Person bezüglich der Erteilung einer (ordentlichen) Aufenthaltsbewilligung bejaht, weil nicht absehbar war, dass die vorläufige Aufnahme künftig dahinfallen könnte (BGE 147 I 268 E. 1.2.4-1.2.7).

2.2.2 Die vorliegende Situation kann nicht mit den vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang angerufenen Entscheiden verglichen werden: Der Beschwerdeführer wurde im Gegensatz zur Ausgangslage in BGE 147 I 268 hier gerade nicht vorläufig aufgenommen; er hätte das Land vielmehr verlassen müssen. Im EGMR-Urteil Abuhmaid ging es um einen Betroffenen, der während 17 Jahren in der Ukraine über eine regelmässig erneuerte Kurzaufenthaltsbewilligung ("temporary residence permits") verfügt hatte (Urteil Abuhmaid gegen Ukraine vom 12. Januar 2017 [Nr. 31183/13] § 120 ff.). Der Beschwerdeführer hielt sich dort somit rechtmässig im Land auf, wenn auch bewilligungsrechtlich auf einer prekären Basis. Das EGMR-Urteil Keita betraf einen staatenlosen Gesuchsteller, dessen Wegweisung aufgeschoben worden war und der in Ungarn während 15 Jahren keine Möglichkeit erhalten hatte, seinen Aufenthaltsstatus zu regularisieren; ins Gewicht fiel dabei insbesondere die Staatenlosigkeit der betroffenen Person (Urteil Keita gegen Ungarn vom 12. Mai 2020 [Nr. 42321/15] § 35 ff.). Der Beschwerdeführer hätte - wie bereits dargelegt - längst ausreisen müssen, was ihm im Hinblick auf seine Ausschaffungshaft und die Verurteilung wegen illegalen Aufenthalts bewusst sein musste. Kommt Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens) nicht zur Anwendung, besteht für ihn mangels eines "arguable claim" auch keine Möglichkeit, Art. 13 (Recht auf eine wirksame Beschwerde) in Verbindung mit Art. 8 EMRK anzurufen.

2.3.1 Das Bundesgericht hat in BGE 137 I 128 ff. festgestellt, dass die Regelung von Art. 14 Abs. 4 AsylG, wonach der betroffenen Person nur im Zustimmungsverfahren Parteistellung zukommt, mit der Rechtsweggarantie von Art. 29a BV unvereinbar ist, doch müsse die Regelung gestützt auf Art. 190 BV dennoch angewendet werden (vgl. PETER UEBERSAX, in: Code annoté de droit des migrations, Bd. IV: Loi sur l'asile [LAsi], Amarelle/Nguyen [Hrsg.], 2015, N. 44 ff. und 50 zu Art. 14 AsylG; HUGI YAR, a.a.O., S. 107). Der Gesetzgeber wollte mit dieser Einschränkung der Parteistellung verhindern, dass durch die Einreichung unbegründeter Gesuche und mit der Ausschöpfung des Rechtsmittelwegs auf kantonaler Ebene der Vollzug der Wegweisungen im Asylverfahren ungebührlich verzögert wird. Er hat es ausdrücklich abgelehnt, diese Regelung an die verfassungsrechtliche Situation anzupassen (Motion 10.4107, eingereicht im Nationalrat am 17. Dezember 2010; Stellungnahme des Bundesrats vom 11. März 2011; Ablehnung des Nationalrats vom 28. September 2011; vgl. CONSTANTIN HRUSCHKA, in: Migrationsrecht, Spescha/Zünd/Bolzli/Hruschka/de Weck [Hrsg.], 5. Aufl. 2019, N. 8 zu Art. 14 AsylG).

2.3.2 Art. 14 Abs. 4 AsylG gilt deshalb grundsätzlich in der bisherigen Form und Auslegung weiter, was indessen, worin dem Beschwerdeführer zuzustimmen ist, nicht befriedigt. Es ist nicht auszuschliessen, dass eine spezifische ausländerrechtliche Situation im Anwendungsbereich von Art. 14 AsylG - anders als hier - tatsächlich unter die Garantien von Art. 8 Ziff. 1 EMRK fallen und nach einer Interessenabwägung im Rahmen von dessen Ziffer 2 rufen könnte. In dieser Situation hätte das nationale Recht den Vorgaben von Art. 13 EMRK zu genügen.

2.4 Nach dem Gesagten besteht indessen im vorliegenden Fall kein in vertretbarer Weise geltend gemachter Anspruch auf Aufenthalt in der Schweiz im Sinne von Art. 8 EMRK (Schutz des Privatlebens). Der Beschwerdeführer räumt dies implizit ein, wenn er um eine asylrechtliche Härtefallbewilligung ersucht (Art. 14 Abs. 2 AsylG) und in diesem Zusammenhang (auch) mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangt. Bei der von ihm beantragten Härtefallbewilligung handelt es sich unbestrittenermassen um eine Ermessens- und keine Anspruchsbewilligung (vgl. UEBERSAX, a.a.O., N. 18 zu Art. 14 AsylG; HUGI YAR, a.a.O., S. 104 ff.). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit (in Anwendung von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG) nicht einzutreten.

3.1 Dasselbe gilt für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde: Wegen Fehlens eines Bewilligungsanspruchs ist der Beschwerdeführer nicht legitimiert, den Entscheid hinsichtlich der Bewilligungsfrage als solcher mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde anzufechten; insbesondere sind in dieser Situation praxisgemäss die Rügen unzulässig, der angefochtene Entscheid verletze das Willkürverbot, das Rechtsgleichheitsgebot oder den Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 115 lit. b BGG; dazu das Urteil 2D_90/2008 vom 9. September 2008 E. 2.2; BGE 137 II 305 E. 2; BGE 134 I 153 E. 4; BGE 133 I 185 E. 6.2; UEBERSAX, a.a.O., N. 18 zu Art. 14 AsylG). Der Beschwerdeführer kann ausschliesslich rügen, der angefochtene Entscheid missachte verfahrensrechtliche Ansprüche, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen kann (sog. "Star"-Praxis; BGE 137 II 305 E. 2; Urteil 2D_6/2022 vom 15. Februar 2022 E. 2; HUGI YAR, a.a.O., S. 100).

3.2.1 Der Beschwerdeführer macht geltend, der Kanton Graubünden sei - entgegen der Ansicht von dessen Behörden - zur Behandung seines Härtefallgesuchs zuständig und nicht der Kanton Thurgau; es liege diesbezüglich eine formelle Rechtsverweigerung vor. Seine Ausführungen überzeugen nicht: Auch wenn nach wie vor der Kanton Graubünden, dem er im Asylverfahren zugewiesen wurde, zur Beurteilung seines Gesuchs zuständig ist (vgl. Art. 14 Abs. 2 AsylG; Urteil 2C_551/2017 vom 24. Juli 2017 E. 2.4; UEBERSAX, a.a.O., N. 15 zu Art. 14 AsylG), liegt diesbezüglich doch keine formelle Rechtsverweigerung vor. Von einer solchen kann nur gesprochen werden, wenn ein Anspruch darauf besteht, dass ein Verfahren durchgeführt wird, und die zuständige Behörde sich weigert, das formgerecht eingereichte Gesuch anhand zu nehmen und zu behandeln (vgl. RHINOW/KOLLER/KISS/THURNHERR/BRÜHL-MOSER, Öffentliches Prozessrecht, 4. Aufl. 2021, Rz. 277, 279, 282 ff.; BGE 103 V 190 E. 3).

3.2.2 Vorliegend besteht gestützt auf Art. 14 Abs. 4 AsylG von Bundesrechts wegen indessen gerade kein solcher Anspruch, weshalb irrelevant ist, ob die Bündner Behörden für die Beurteilung des Gesuchs zuständig wären oder nicht. Der Beschwerdeführer hat kein Recht darauf, dass überhaupt ein entsprechendes kantonales Verfahren durchgeführt wird - ob im Kanton Thurgau oder im Kanton Graubünden. Er ist diesbezüglich nicht zur Rechtsverweigerungsrüge legitimiert (so das Urteil 2D_90/2008 vom 9. September 2008 E. 2.2.2).